Calculer l'intégrale d'une fonction, c'est déterminer l'aire sous la courbe qui représente cette fonction. Cette surface est délimitée par deux droites parallèles à l'axe des ordonnées, passant par les abscisses x0 et x1 (voir figure).
Pour déterminer cette aire, MATLAB utilise une méthode de segmentation numérique basée sur plusieurs approches. Trois fonctions sont disponibles en MATLAB selon la méthode utilisée: trapz, quad, et quad8.
trapz: utilise l'approche de la méthode des trapèzes qui consiste à découper l'aire totale à calculer en de petites surfaces ayant la forme de trapèzes.
quad et quad8: sont basées sur le concept mathématique de la quadrature.
quad : est une forme adaptative de règle de Simpson.
quad8: est basée sur la loi de Newton.
Le fichier MATLAB hump.m contient la fonction suivante:
y = humps(x)
y = 1 ./ ((x - .3). ^2 + .01) + 1 ./ ((x - .9).^2 + .04) - 6;
On se propose de calculer l'aire sous cette courbe en utilisant les trois fonctions de MATLAB définies ci-haut.
Traçons d'abord le graphe de cette fonction. Pour cela, on écrit les instructions suivantes en MATLAB:
x = -1:.01:2;
plot(x,humps(x))
title(' 1 ./ ((x - .3).^2 + .01) + 1 ./ ((x - .9).^2 + .04) - 6')
xlabel('abscisse')
ylabel('ordonnée')
grid
On obtient la courbe suivante :
Detérminons maintenant l'aire délimitée par cette courbe et les abscisses x = -1 et x = 2.
On écrit les instructions suivantes au niveau de MATLAB.
x = -1:.01:2;
y = humps(x);
aire1 = trapz(x,y)
aire2 = quad('humps',-1,2)
aire3 = quad8('humps',-1,2)
Le résultat est le suivant:
>>Remarque: La fonction trapz prend comme argument x et y tandis que quad et quad8 prennent comme argument une fonction; on appelle ces deux dernières des fonctions de fonction.aire1 =
26.3449
aire2 =
26.3450
aire3 =
26.3450
>>
III-1 Soit la fonction y = |x|. Calculer l'intégrale de cette fonction dans les intervalles suivants:
[0.5 0.6] [0 1] [-1 -0.5] [-1 0] [-0.5 0.5]
a- Manuellement.b- En utilisant les trois fonctions d'intégration de MATLAB. Pour chaque intervalle calculé, comparer les résultats obtenus pour les trois fonctions.
c- Comparer les deux méthodes de calcul.
III-2 - Soit la fonction y = 2exp(-x)sin(x). Calculer l'integrale de cette fonction entre les bornes 0 et 4.
a- Manuellement.
b- En utilisant les trois fonctions d'intégration de MATLAB.
c- Comparer les résultats obtenus.
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